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下取整函数

上取整函数

在数学和计算机科学中，取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。^[1]

常用的取整函数有两个，分别是下取整函数和上取整函数。

下取整函数即為取底符號，在数学中一般记作⌊x⌋{displaystyle lfloor xrfloor }或者E(x){displaystyle E(x)}，在计算机科学中一般记作floor(x)，表示不超过x的整数中最大的一个。

⌊x⌋=max{n∈Z∣n≤x}.{displaystyle lfloor xrfloor =max ,{nin mathbb {Z} mid nleq x}.}

举例来说，⌊3.633⌋=3{displaystyle lfloor 3.633rfloor =3}，⌊56⌋=56{displaystyle lfloor 56rfloor =56}，⌊−2⌋=−2{displaystyle lfloor -2rfloor =-2}，⌊−2.263⌋=−3{displaystyle lfloor -2.263rfloor =-3}。对于非负的实数，其下取整函数的值一般叫做它的整数部分或取整部分。而x−⌊x⌋{displaystyle x-lfloor xrfloor }叫做x的小数部分。每个分数都可以表示成其整数部分与一个真分数的和，而实数的整数部分和小数部分是与此概念相应的拓延。

下取整函数的符号也会用方括号表示，如[2.3]=2，称作高斯符号。而（x）则被用来表示一个数的小数部分，如（2.3）=0.3。

上取整函数即為取頂符號在数学中一般记作⌈x⌉{displaystyle lceil xrceil }，在计算机科学中一般记作ceil(x)，表示不小于x的整数中最小的一个。

⌈x⌉=min{n∈Z∣x≤n}.{displaystyle lceil xrceil =min{nin mathbb {Z} mid xleq n}.}

举例来说，⌈3.633⌉=4{displaystyle lceil 3.633rceil =4}，⌈56⌉=56{displaystyle lceil 56rceil =56}，⌈−2⌉=−2{displaystyle lceil -2rceil =-2}，⌈−2.263⌉=−2{displaystyle lceil -2.263rceil =-2}。

计算机中的上取整函数和下取整函数的命名来自于英文的ceiling（天花板）和floor（地板），相关的记法由肯尼斯·艾佛森于1962年引入。^[2]

性质

对于下取整函数，有如下性质。

• 按定义：

⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1{displaystyle lfloor xrfloor leq x<lfloor xrfloor +1} 当且仅当x为整数时取等号。

• 设x和n为正实数，则：

⌊nx⌋≥nx−n−1x{displaystyle leftlfloor {frac {n}{x}}rightrfloor geq {frac {n}{x}}-{frac {n-1}{x}}}

• 下取整函数为等幂运算：⌊⌊x⌋⌋=⌊x⌋{displaystyle lfloor lfloor xrfloor rfloor =lfloor xrfloor }.


• 对任意的整数k和任意实数x，

⌊k+x⌋=k+⌊x⌋.{displaystyle lfloor {k+x}rfloor =k+lfloor xrfloor .}

• 一般的數值修約規則可以表述为将x映射到floor(x + 0.5)；


• 下取整函数不是连续函数，但是上半连续的。作为一个分段的常数函数，在其导数有定义的地方，下取整函数导数为零。


• 设x为一个实数，n为整数，则由定义，n ≤ x当且仅当n ≤ floor(x)。

• 用下取整函数可以写出若干个素数公式，但没有什么实际价值。


• 对于非整数的x，下取整函数有如下的富裡葉展开：

⌊x⌋=x−12+1π∑k=1∞sin⁡(2πkx)k.{displaystyle lfloor xrfloor =x-{frac {1}{2}}+{frac {1}{pi }}sum _{k=1}^{infty }{frac {sin(2pi kx)}{k}}.}

• 对于互素的正整数m和n，有：

∑i=1n−1⌊im/n⌋=(m−1)(n−1)/2{displaystyle sum _{i=1}^{n-1}lfloor im/nrfloor =(m-1)(n-1)/2}

• 根据Beatty定理，每个正无理数都可以通过下取整函数制造出一个整数集的分划。


• 最后，对于每个正整数k，其在 p 进制下的表示有 ⌊logp⁡(k)⌋+1{displaystyle lfloor log _{p}(k)rfloor +1} 个数位。

对于上取整函数：

• 显然有：

⌈x⌉=−⌊−x⌋{displaystyle lceil xrceil =-lfloor -xrfloor }

• 以及：

x≤⌈x⌉<x+1{displaystyle xleq lceil xrceil <x+1}

• 对于整数k有：

⌊k/2⌋+⌈k/2⌉=k{displaystyle lfloor k/2rfloor +lceil k/2rceil =k}.

其它等式

• [x+1]=[x]+1{displaystyle [x+1]=[x]+1}


• 设x为一个实数，n为整数，则

∑k=0n−1E(x+kn)=E(nx){displaystyle sum _{k=0}^{n-1}E(x+{frac {k}{n}})=E(nx)}

E(1nE(nx))=E(x){displaystyle E({frac {1}{n}}E(nx))=E(x)}

• 对于两个相反数的下取整函数，有：

如果x为整数，则E(x)+E(−x)=0{displaystyle E(x)+E(-x)=0}

否则E(x)+E(−x)=−1{displaystyle E(x)+E(-x)=-1}

参考来源

1. 
   ^ Ronald Graham, Donald Knuth and Oren Patashnik. "Concrete Mathematics". Addison-Wesley, 1999. Chapter 3, "Integer Functions".
   


2. 
   ^ Kenneth E. Iverson. "A Programming Language". Wiley, 1962.